Actividades semana del 16 de marzo al 22 de marzo - II
Llegó el día, estamos a unas horas de el primer selectivo. Recuerda dormir bien para empezar fresco el examen el día de mañana. Te compartimos algunos ejercicios de combinatoria para repasar, recuerda, el primer examen es en línea y estará disponible en la dirección https://ommyuc.org/ a partir de mañana sábado 22 a las 10:00, hora local.
- Para revisar los ejercicios, puedes utilizar el siguiente enlace: https://forms.gle/27JLALyZ4hX1MhmN9
En un pizarrón están escritos los números del 1 al 2000. Un paso consiste en seleccionar dos de los números ya escritos, digamos \(a\) y \(b\), borrarlos y escribir el número \(a + b - 2\) en su lugar. Después de realizar 1999 pasos quedará un solo número escrito. ¿Cuál es este número? Dar todas las posibilidades.
En una mesa están boca arriba 9 cartas numeradas del 1 al 9. Deeds coloca las cartas en un solo renglón en el orden que quiera y realiza el siguiente proceso: en cada paso, selecciona la carta inicial de la fila (la que está más a la izquierda) y observa el número escrito en ella; si este número es \(k\), entonces intercambia esta carta con la que está en la \(k\)-ésima posición contando de izquierda a derecha. La siguiente figura muestra un ejemplo en donde Deeds ha aplicado dos pasos:
\[ 852417936 \rightarrow 352417986 \rightarrow 253417986. \]
Deeds continúa con este proceso de forma indefinida. Muestra que sin importar el orden inicial de las cartas, la carta con el número 1 aparecerá al principio de la fila. ¿Se podría decir lo mismo si en lugar de 9 cartas fueran \(n\)?
- Se tienen 25 focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros 24 se colocan en una circunferencia, cada uno en los vértices de un 24-ágono regular, y el foco restante en el centro de la circunferencia. Se permite realizar cualquiera de las siguientes dos operaciones:
- Tomar dos vértices sobre la circunferencia tales que hay una cantidad impar de vértices en los arcos que definen, y cambiar el estado de los focos de estos dos vértices, así como del foco del centro.
- Tomar tres vértices sobre la circunferencia que formen un triángulo equilátero, y cambiar el estado de los focos en estos tres vértices, así como del foco del centro.
Muestra que partiendo de cualquier configuración inicial de focos encendidos y apagados, siempre es posible llegar a una configuración en la que todos los focos están encendidos.
En los vértices de un cubo, se escriben con azul los números enteros del 1 al 8 sin repetir. Después, en cada arista se escribe con rojo la diferencia de los números azules de sus extremos (el mayor menos el menor). ¿Cuál es la menor cantidad de números rojos distintos que puede haber? Explica tu respuesta.
Se tienen 100 pelotas de metal; 50 de ellas radioactivas y 50 inofensivas. Drini, con ayuda de sus tres posibles detectores etiquetados con los números 1, 2 y 3, respectivamente (todas las pelotas seleccionadas pasan por un detector al mismo tiempo). Cada detector indica si entre las pelotas hay o no radioactividad; sin embargo, Drini sabe que un detector siempre dice la verdad, el otro siempre falla y el tercero a veces funciona bien y otras veces se equivoca (los detectores son iguales físicamente y no se sabe cuál de ellos hace cada cosa). Muestra que Drini puede identificar las 50 pelotas radioactivas utilizando una cantidad finita de veces los detectores.
En cada celda de una cuadrícula de 100 × 100 está escrito un entero positivo. Se permite realizar una por una las siguientes operaciones:
- Seleccionar una columna y multiplicar por 2 los números que se encuentran en las celdas de dicha columna.
- Seleccionar un renglón y restar 1 a cada uno de los números en las celdas que lo conforman.
Estas operaciones las puedes realizar tantas veces como quieras y en el orden que quieras. Demuestra que es posible realizar un número finito de operaciones de manera que todos los números en la cuadrícula sean simultáneamente cero.
- Drini tiene una calculadora en la que se introduce un entero positivo. Cuenta con dos operaciones: la operación A elimina el dígito de las unidades del número en cuestión, mientras que la operación B multiplica el número por sí mismo. Dados dos enteros positivos \(m\) y \(n\), diremos que se puede llegar de \(m\) a \(n\) si al comenzar con el número \(m\) en la calculadora, existe una sucesión finita de operaciones A y B (en cualquier orden) que deja en la calculadora el número \(n\). Por ejemplo, se puede llegar del 109 al 10000, pues al aplicar desde el 109 las operaciones A, B, B en ese orden obtenemos
\[ 109 \rightarrow 10 \rightarrow 100 \rightarrow 10000. \]
Prueba que siempre es posible llegar al número 1 sin importar el número con el que empecemos.
- Un tablero de \(8 \times 8\) se ha cubierto completamente con 32 fichas de dominó. Demuestra que existe una subcuadrícula de \(2 \times 2\) que está cubierta por exactamente 2 dominós.