Actividades semana del 23 de marzo al 29 de marzo

Ejercicios de práctica Ommyuc

Los siguientes ejercicios son para escribir demostraciones, recuerda escribir lo más claro que puedas tus ideas, ten en cuenta que en el examen original tuvieron 4.5 horas de tiempo por lo que es razonable si cada ejercicio te toma una hora para practicar.

• Para revisar los ejercicios, puedes utilizar el siguiente enlace: https://forms.gle/27JLALyZ4hX1MhmN9

1. Problema 1. Sea AD la mediana de un triángulo ABC, tal que el ADB mide 45° y el ángulo ACB mide 30°. Determina el valor del ángulo BAD.

2. Problema 2: Si \(\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \frac{x^2 - y^2}{x^2+y^2} = 12\), determina el valor de \(\frac{x^8 + y^8}{x^8 - y^8} + \frac{x^8 - y^8}{x^8 + y^8}\)

3. Problema 3. Considera un polígono convexo de m lados. Si al trazar todas las diagonales, no hay tres que pasen por un mismo punto, determina el número de regiones en que queda dividido el polígono.

4. Problema 4. El juego de comesolo consiste en un tablero en que hay ciertas agujas clavadas en agujeros, excepto en uno de ellos. Las jugadas válidas consisten en tomar una aguja brincar sobre otra aguja adyacente (horizontal o verticalmente) para caer en algún espacio vacío, quitando del tablero la aguja sobre la que brincaste. El objetivo del juego es lograr que quede una sola aguja en el tablero. Demuestra que es imposible lograr el objetivo en el siguiente tablero, si inicialmente el agujero del centro es el único vacío.

   

5. Problema 5. Si \(a, b\) son dos enteros positivos tales que \(2a^2 + a = 3b^2 + b\), demuestra que \(a - b\) y \(2a + 2b + 1\) son ambos cuadrados perfectos.