Preparativo para el examen selectivo
Muchas felicidades por haber llegado a esta etapa del selectivo, sabemos que no ha sido fácil. Los siguientes ejercicios de práctica están tomados de la olimpiada femenil de matemáticas de México.
Ten en cuenta que la olimpiada se realiza en varios días, de los primeros cuatro problemas, se seleccionaron dos conjuntos de 3 problemas para los dos niveles de la competencia. Cada grupo de tres problemas fue pensado para resolverse en un día, dedicandoles 4.5hrs. De los cuatro últimos problemas igual se seleccionaron dos grupos de 3 para el segundo día. Toma esto en cuenta y no te desanimes por el tiempo.
¡Ánimo! ¡estamos en la recta final!
- Problema 1. Sea \(x\) un número real. Determina la solución de la siguiente ecuación: \[ \frac{x^2 + 1}{1} + \frac{x^2 + 2}{2} + \frac{x^2 + 3}{3} + \ldots + \frac{x^2 + 2024}{2024} = 2024 \]
- Problema 2. Se tienen 50 papelitos con los números del 1 al 50. Se quieren tomar 3 papelitos de manera que a cualquiera de los tres números, dividido entre el máximo común divisor de los otros dos, se le pueda sacar la raíz cuadrada tal que quede un número racional.
¿Cuántas tercias (no ordenadas) de papelitos cumplen con esta condición?Nota: Un número es racional si puede escribirse como la división de 2 enteros.
Problema 3. Sea 𝐴𝐵𝐶 un triángulo y 𝐷 el pie de altura desde 𝐴. Sea 𝑀 un punto tal que 𝑀𝐵 = 𝑀𝐶. Sean 𝐸 y 𝐹 las intersecciones del circuncírculo de 𝐵𝑀𝐷 y 𝐶𝑀𝐷 con 𝐴𝐷. Sean 𝐺 y 𝐻 las intersecciones de 𝑀𝐵 y 𝑀𝐶 con 𝐴𝐷. Demuestra que 𝐸𝐺 = 𝐹𝐻.
Problema 4. Hay 6 cuadrados en una fila. Cada uno se etiqueta con el nombre de Ana o Beto y con un númerodel 1al 6, usando cada número sin repetir. Ana y Beto juegan a pintar cada cuadrado siguiendo el orden de los números en las etiquetas. Quien pinte el cuadrado será la persona cuyo nombre esté en la etiqueta. Al pintarlo, la persona podrá elegir si pintar el cuadrado de rojo o de azul. Beto gana si al final hay la misma cantidad de cuadrados azules como rojos, y Ana gana en caso contrario. ¿En cuántas de todas las posibles maneras de etiquetar los cuadrados puede Beto asegurar su victoria? El siguiente es un ejemplo de una asignación de etiquetas.
Primero Ana pinta el primer cuadrado, luego Beto pinta el cuarto cuadrado, luego Beto pinta el segundo cuadrado, y así sucesivamente.Problema 5. Se tiene el triángulo acutángulo 𝐴𝐵𝐶. La base 𝐵𝐶 mide 40 unidades. Sea 𝐻 el ortocentro de 𝐴𝐵𝐶 y 𝑂 su circuncentro. Sean 𝐷 el pie de altura desde 𝐴 y 𝐸 el pie de altura desde 𝐵. El punto 𝐷 parte al lado 𝐵𝐶 en razón de 3 a 5, con 𝐵𝐷 menor a 𝐷𝐶. Si la mediatriz de 𝐴𝐶 pasa por el punto 𝐷, calcula el área del cuadrilátero 𝐷𝐻𝐸𝑂. Nota: El ortocentro es el punto donde se intersecan las tres alturas de un triángulo.
Problema 6. Se colorea cada casilla de un tablero de 4 × 4 de negro o blanco de tal manera que cada fila y cada columna tiene una cantidad par de casillas negras. ¿De cuántas maneras se puede colorear el tablero?
Problema 7. Considere a la ecuación cuadrática \(x^2 + a_0 x + b_0\) para algunos reales \((a_0, b_0)\). Repetimos el siguiente procedimiento tantas veces como sea posible: Sea \(c_i = \min \{r_i, s_i\}\), con \(r_i\), \(s_i\) las raíces de la ecuación \(x^2 + a_i x + b_i\). Se escribe la nueva ecuación \(x^2 + b_i x + c_i\). Es decir, que para la siguiente iteración del procedimiento, \(a_{i+1} = b_i\), y \(b_{i+1} = c_i\). Decimos que \((a_0, b_0)\) es una pareja interesante si, después de un número finito de pasos, la ecuación que obtenemos después de un paso es la misma, de manera que \((a_i, b_i) = (a_{i+1}, b_{i+1})\). Encuentre todas las parejas interesantes.
Problema 8. Encuentra todos los enteros positivos \(n\) tales que entre los \(n\) números
\[2n + 1, \quad 2^2 n + 1, \ldots, \quad 2^n n + 1\]
hay \(n\), \(n - 1\) o \(n - 2\) primos.